PERIODO 4

CUARTO PERIODO

CALCULO DE PROBABILIDAD

·        PROBABILIDAD

·         PERMUTACIÓN

·         COMBINACIÓN
http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U12_L2_T3_text_final_es.html

Permutaciones y Combinaciones

Objetivo de Aprendizaje

·         Usar el Principio Fundamental de Conteo para calcular permutaciones y combinaciones.

Introducción

Algunas situaciones de probabilidad implican múltiples eventos. Cuando uno de los eventos afecta a otros, se llaman eventos dependientes. Por ejemplo, cuando objetos son escogidos de una lista o grupo y no son devueltos, la primera elección reduce las opciones para futuras elecciones.

Existen dos maneras de ordenar o combinar resultados de eventos dependientes. Las permutaciones son agrupaciones en las que importa el orden de los objetos. Las combinaciones son agrupaciones en las que el contenido importa pero el orden no.

Eventos Dependientes

Dos eventos son dependientes si el estado original de la situación cambia de un evento al otro, y esto altera la probabilidad del segundo evento.

Los eventos dependientes ocurren cuando una acción elimina un resultado posible, y el resultado no es devuelto antes de que suceda una segunda acción. A esto se le llama elección sin devolución.

Una forma de saber si eventos son dependientes o independientes es encontrar si un resultado eliminado es devuelto (haciéndolos independientes) o no devuelto (haciéndolos dependientes). Aquí hay algunos ejemplos.

Situación	Eventos	Por qué los eventos son dependientes
En una fiesta, sacas cuatro papelitos con nombres de invitados para formar un equipo de 4 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que John, Perna, Tosho, y Lee quedarán en el mismo equipo?	Sacar el nombre de John Sacar el nombre de Perna Sacar el nombre de Tosho Sacar el nombre de Lee	Una vez que sacas un nombre, no lo pones de nuevo en el conjunto de nombres de donde lo sacaste. Cada vez, hay un nombre menos en el espacio muestral, y (si el evento continúa ocurriendo) un nombre menos en el espacio de eventos. La probabilidad de que un evento suceda cambia con cada nueva sacada.
Sacas una canica de una bolsa con 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Te quedas la canica y luego sacas otra. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja y luego sacar la canica verde?	La primera sacada es roja. La segunda sacada es verde.	Estos eventos son dependientes porque no devuelves la primera canica que sacaste. Quedan menos canicas en el espacio muestral, por lo que la probabilidad de sacar una canica verde es distinta para la segunda sacada que para la primera.
Sacas dos cartas de un mazo estándar de 52 cartas. (En un mazo estándar, cada carta tiene un palo — corazones, picas, diamantes, o tréboles — y un rango — As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Jota, Reina y Rey. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean 2s?	Una carta es un 2. Otra carta es un 2.	Como se sacan 2 cartas, la probabilidad de que le primera sea 2 es diferente de la probabilidad de que la segunda sea 2. (Menos cartas de donde escoger resulta en un espacio muestral más pequeño.)

Beth tiene 10 pares de calcetines: 2 negros, 2 cafés, 3 blancos, 1 rojo, 1 azul, y 1 verde. Hoy quiere usar el par blanco, pero tiene prisa para llegar al trabajo, por lo que agarra un para al azar. Si no es blanco, lo tirar a la cama y saca otro. Elige el enunciado que mejor describe esta situación. A) Los eventos son dependientes, porque Beth no elimina ninguno de los resultados. B) Los eventos son dependientes, porque el resultado eliminado es devuelto después de cada intento. C) Los eventos son dependientes, porque un resultado es eliminado en cada intento y no es devuelto. RESPUESTA: (ANALIZAR CON LOS ESTUDIANTES LA SITUACIÓN)  A) Incorrecto. Cada vez, Beth toma uno de los resultados y lo deja fuera. Después del primer intento, quedan sólo 9 pares de calcetines, por lo que la probabilidad de sacar un par blanco cambia de  a . Los eventos son dependientes, porque un resultado es eliminado en cada intento y no es devuelto. B) Incorrecto. Si los resultado eliminados fueran devueltos, los eventos serían independientes porque sus probabilidades no cambiarían. En cambio, cada vez, Beth toma uno de los resultados y lo deja fuera. Después del primer intento, quedan sólo 9 pares de calcetines, por lo que la probabilidad de sacar un par blanco cambia de  a . Los eventos son dependientes, porque un resultado es eliminado en cada intento y no es devuelto. C) Correcto. Cada vez, Beth toma uno de los resultados y lo deja fuera. Después del primer intento, quedan sólo 9 pares de calcetines, por lo que la probabilidad de sacar un par blanco cambia de  a

Permutaciones y Combinaciones

Una cosa que sabemos sobre situaciones que implican eventos dependientes es que una acción elimina resultados posibles de acciones futuras. Hay otro factor importante que considera sobre los resultados de eventos dependientes: ¿Cómo están organizados? ¿Debemos hacer una lista, anotando el orden en que ocurren, o sólo los amontonamos juntos ignorando el orden?

Considera los tres ejemplos anteriores, y piensa si el orden importa:

Situación	Eventos	¿Importa el orden?
En una fiesta, sacas cuatro papelitos con nombres de invitados para formar un equipo de 4 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que John, Perna, Tosho, y Lee quedarán en el mismo equipo?	Sacar el nombre de John Sacar el nombre de Perna Sacar el nombre de Tosho Sacar el nombre de Lee	El orden no importa. Esas cuatro personas estarán en el mismo equipo así saques a John, Perna, Tosho, y luego Lee, o Perna, Tosho, Lee, y al final John.
Sacas una canica de una bolsa con 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Te quedas la canica y luego sacas otra. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja y luego sacar la canica verde?	La primera sacada es roja. La segunda sacada es verde.	El orden es importante. Sacar una canica verde y luego una roja no es un resultado aceptable en esta situación
Sacas dos cartas de un mazo estándar de 52 cartas. (En un mazo estándar, cada carta tiene un palo — corazones, picas, diamantes, o tréboles — y un rango — As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Jota, Reina, o Rey. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean 2s?	Una carta es un 2. Otra carta es un 2.	El orden no importa. El resultado se satisface ya sea que saques el 2 de corazones y el 2 de picas, o el 2 de picas y luego el 2 de corazones.

En situaciones que crean grupos de objetos (como personas, canicas, o cartas), necesitamos saber si su orden importa o no. De lo contrario no podemos encontrar los espacios muestral y de eventos.

Considera el ejemplo del equipo. En el espacio muestral, el resultado John, Perna, Tosho, Lee es el mismo que el resultado Perna, Lee, John, Tosho — no hay diferencia entre los equipos creados, aunque los nombres de los miembros hayan sido mencionados en un orden distinto. Por otro lado, supongamos que la primera persona sacada debe ser la que lance un globo lleno de agua, la segunda tiene que atraparlo, la tercera es quien lo revienta (si aún sigue intacto), y la cuarta es quien trata de colectar el agua en un vaso. Si John es un lanzador terrible pero Perna es buena lanzando, sería mejor para el equipo que saliera Perna, Lee, John, Tosho (para que Perna lance a Lee) que John, Perna, Tosho, Lee (John lance a Perna). El orden importaría.

Ejemplo
Problema	Una bolsa contiene 5 canicas, de color blanco, rojo, azul, púrpura y verde. Encuentra el tamaño del espacio muestral si sacas dos canicas, sin devolverlas, de dos maneras: 1) El orden importa. 2) El orden no importa.
	Primera sacada W R B P G		Enlistar las posibilidades de la primer sacada, usamos sólo las iniciales de los colores (como son todas distintas)
	Primera sacada W R B P G Segunda sacada W RW BW PW GW R WR BR PR GR B WB RB PB GB P WP RP BP GP G WG RG BG PG Espacio muestral (el orden importa): {RW, BW, PW, GW, WR, BR, PR, GR, WB, RB, PB, GB, WP, RP, BP, GP, WG, RG, BG, PG}		Ahora suma la segunda sacada. Como primero vamos a pensar cuando el orden importa, sólo añade la segunda sacada después de la primera. Recuerda que esto es sin reemplazo, por lo que no puedes repetir un color.
	Espacio muestral (el orden no importa): {RW, BW, PW, GW, BR, PR, GR, PB, GB, GP}		Ahora, ¿cuál es la diferencia cuando el orden no importa? WR y RW son el mismo resultado, al igual que WB y BW, etc. En este diagrama, cada resultado está relacionado con su resultado equivalente. Como sólo necesitas uno de cada par, quedan la mitad de las soluciones
Solución	Cuando el orden importa, el espacio muestral tiene 20 resultados. Cuando el orden no importa, el espacio muestral tiene 10 resultados.

Cuando formamos grupos en los que el orden no importa, los grupos se llaman combinaciones. Cuando formamos grupos en los que el orden sí importa, los grupos se llaman permutaciones. Recuerda con permutaciones, posición (orden) importa.